sin15度等于多少分数？精确值怎么算？

sin15度是一个常见的三角函数值,其精确值可以通过三角函数的和差公式或半角公式推导出来，15度可以表示为45度减去30度，或者30度的一半，因此可以利用sin(45°-30°)或sin(30°/2)的公式来计算，以下是详细的推导过程和结果。

使用sin(45°-30°)的和差公式： sin(A-B) = sinA·cosB - cosA·sinB 将A=45°，B=30°代入： sin15° = sin45°·cos30° - cos45°·sin30° 已知sin45°=cos45°=√2/2，sin30°=1/2，cos30°=√3/2，代入得： sin15° = (√2/2)·(√3/2) - (√2/2)·(1/2) = (√6/4) - (√2/4) = (√6 - √2)/4 sin15°的精确值为(√6 - √2)/4，这是一个分数形式的表达式。

另一种方法是使用半角公式： sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2] 将θ=30°代入： sin15° = √[(1 - cos30°)/2] = √[(1 - √3/2)/2] = √[(2 - √3)/4] = √(2 - √3)/2 虽然这个形式看起来不同，但可以通过有理化验证其与(√6 - √2)/4等价，将(√6 - √2)/4平方： [(√6 - √2)/4]^2 = (6 - 2√12 + 2)/16 = (8 - 4√3)/16 = (2 - √3)/4 √(2 - √3)/2 = (√6 - √2)/4，两种方法结果一致。

为了更直观地理解sin15°的数值，可以计算其近似值： √6 ≈ 2.449，√2 ≈ 1.414， sin15° ≈ (2.449 - 1.414)/4 ≈ 1.035/4 ≈ 0.2588 这个值与实际计算器显示的sin15°≈0.2588一致。

以下是sin15°相关数值的对比表格：

从表格中可以看出,sin15°的值介于0和0.5之间，符合正弦函数在0°到90°区间的单调递增特性，sin15°的精确值(√6 - √2)/4是一个无理数，无法表示为简单的分数，但可以通过有理化或近似计算得到具体数值。

相关问答FAQs：

1. 问：sin15°是否可以表示为简单的分数形式？ 答：sin15°的精确值为(√6 - √2)/4，这是一个包含根号的无理数，无法表示为简单的整数比或普通分数，但可以通过近似计算得到小数形式，如0.2588。

2. 问：如何验证sin15°的两种表达式是否等价？ 答：可以通过平方运算验证，将(√6 - √2)/4平方后得到(2 - √3)/4，而√(2 - √3)/2平方后同样得到(2 - √3)/4，因此两者等价，也可以通过计算器直接计算两种形式的数值，结果一致。