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47循环小数化成分数怎么算？30字内教你步骤！

shiwaishuzidu2025年10月29日 17:25:21学习资源17

要将0.47循环小数化成分数，我们需要理解循环小数的结构及其数学原理，循环小数是指小数部分有一个或多个数字依次重复出现，例如0.4777...中，数字“7”无限循环，这类小数可以通过代数方法精确转换为分数形式,以下是详细的推导过程：

设变量表示循环小数

设 ( x = 0.4777\ldots )，这里，“47”中的“7”是循环节,即从第二位小数开始无限循环。

乘以适当的幂次对齐小数点

为了消去循环部分，我们需要将小数点向右移动，使得循环部分对齐，由于循环节是一位数字“7”，我们乘以10： [ 10x = 4.7777\ldots ]

建立方程并相减

我们有两个方程： [ \begin{cases} x = 0.4777\ldots \ 10x = 4.7777\ldots \end{cases} ] 用第二个方程减去第一个方程： [ 10x - x = 4.7777\ldots - 0.4777\ldots ] [ 9x = 4.3 ]

解方程求分数形式

[ 9x = 4.3 ] [ x = \frac{4.3}{9} ] 为了消除小数，分子分母同乘10： [ x = \frac{43}{90} ]

验证结果

将分数 (\frac{43}{90}) 转换为小数，检查是否等于0.4777...： [ 43 \div 90 = 0.4777\ldots ] 验证通过，(\frac{43}{90}) 是0.47循环小数的分数形式。

循环小数转分数的通用方法

为了更系统地理解循环小数转分数的规律,可以参考以下表格：

循环小数类型	示例	设变量	乘以幂次	相减后方程	分数形式
纯循环小数（如0.(\dot{3})）	333...	( x = 0.\dot{3} )	10	( 10x - x = 3 )	(\frac{3}{9} = \frac{1}{3})
混循环小数（如0.47(\dot{7})）	4777...	( x = 0.47\dot{7} )	100	( 100x - 10x = 47 - 4 )	(\frac{43}{90})
多位循环节（如0.(\dot{12})）	121212...	( x = 0.\dot{12} )	100	( 100x - x = 12 )	(\frac{12}{99} = \frac{4}{33})

纯循环小数：循环节从小数点后第一位开始，分母由与循环节位数相同的“9”组成，分子为循环节本身。(0.\dot{12} = \frac{12}{99})。
混循环小数：非循环部分和循环节混合，分母由“9”后接“0”组成（“9”的个数等于循环节位数，“0”的个数等于非循环部分位数），分子为“非循环部分+循环节”减去“非循环部分”。(0.47\dot{7}) 中，非循环部分为“4”，循环节为“7”，分母为“90”（1个“9”和1个“0”），分子为“47 - 4 = 43”，结果为(\frac{43}{90})。

相关问答FAQs

问题1：为什么混循环小数的分母要用“9”和“0”组合？
解答：混循环小数的分母设计是为了通过乘法对齐小数点，消去循环部分，对于0.47(\dot{7})，乘以100（非循环部分位数+循环节位数）和10（非循环部分位数）后相减，循环部分被消除，分母中的“9”对应循环节，“0”对应非循环部分,确保方程正确简化。

问题2：如何判断循环节的位数？
解答：循环节的位数是循环小数中重复出现的数字序列的长度，0.123123...的循环节是“123”，位数为3；而0.4777...的循环节是“7”，位数为1，观察小数点后的数字,找到从某一位开始无限重复的最短序列即可确定循环节位数。