八十分之九十约分后化成带分数的步骤是什么？

要将八十分之九十先约分再化成带分数,我们需要按照数学中的分数运算步骤逐步进行，约分是指将分子和分母同时除以它们的最大公约数（GCD），使分数成为最简形式，将最简分数转换为带分数形式，即整数部分与真分数部分的组合，以下是详细的步骤和解释：

第一步：理解分数的基本概念

分数由分子和分母组成,表示整体的一部分，八十分之九十（90/80）表示将整体分成80份，取其中的90份，但分子大于分母时，分数称为假分数，可以进一步转换为带分数或整数。

第二步：计算分子和分母的最大公约数（GCD）

约分的关键是找到分子和分母的最大公约数,GCD是能够同时整除分子和分母的最大正整数，对于90和80，我们可以通过列举因数或使用欧几里得算法来求解。

• 列举因数法：

  • 90的因数：1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
  • 80的因数：1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
  • 共同因数：1, 2, 5, 10
  • 最大公约数：10

• 欧几里得算法：

  1. 90 ÷ 80 = 1 余 10
  2. 80 ÷ 10 = 8 余 0
  3. 余数为0时,除数10即为GCD。

90和80的GCD是10。

第三步：约分分数

将分子和分母同时除以GCD（10）： [ \frac{90 \div 10}{80 \div 10} = \frac{9}{8} ] 约分后，八十分之九十简化为八分之九。

第四步：将假分数转换为带分数

八分之九（9/8）是假分数，因为分子（9）大于分母（8），转换为带分数的步骤如下：

1. 用分子除以分母：9 ÷ 8 = 1 余 1。
2. 商（1）是带分数的整数部分。
3. 余数（1）作为新的分子，分母保持不变（8）。
4. 9/8 = 1又八分之一（1 1/8）。

第五步：验证结果

为了确保正确性,我们可以将带分数转换回假分数： [ 1 \frac{1}{8} = \frac{1 \times 8 + 1}{8} = \frac{9}{8} ] 这与约分后的分数一致，验证了结果的正确性。

第六步：总结步骤

以下是整个过程的总结表格：

第七步：实际应用

理解分数的约分和转换在实际生活中有很多应用。

• 烹饪：食谱中的材料比例可能需要调整，约分可以简化计算。
• 建筑：测量和切割材料时，分数的转换有助于精确分配。
• 财务：计算折扣或分配预算时，分数的简化可以提高效率。

第八步：常见错误及注意事项

在进行分数运算时,容易犯以下错误：

1. 忽略GCD的计算：直接约分可能导致结果不是最简形式，若误将90/80约分为18/16（GCD为5），则仍需进一步约分。
2. 带分数的整数部分错误：在转换时，错误地将商或余数作为整数部分，将9/8误写为8 1/9。
3. 符号混淆：在负分数中，忽略负号的位置可能导致结果错误。

第九步：扩展练习

为了巩固理解,可以尝试以下练习：

1. 将120/75约分并转换为带分数。
   • GCD(120, 75) = 15
   • 约分：120/75 = 8/5
   • 转换：8 ÷ 5 = 1 余 3 → 1 3/5
2. 将56/64约分并转换为带分数。
   • GCD(56, 64) = 8
   • 约分：56/64 = 7/8
   • 转换：7/8是真分数，无需转换。

第十步：数学原理的深入探讨

分数的约分和转换基于以下数学原理：

1. 等价分数：约分后的分数与原始分数等值，即表示相同的比例。
2. 带分数的定义：带分数是假分数的另一种表示形式，便于直观理解大小。
3. GCD的唯一性：任何两个正整数都有唯一的GCD，确保约分结果的唯一性。

相关问答FAQs

问题1：为什么约分时必须使用最大公约数？
答：约分时使用最大公约数可以确保分数被简化到最简形式，即分子和分母互质（没有其他公约数），如果使用较小的公约数，分数仍可进一步约分，导致结果不是最简形式，若将90/80约分为18/16（GCD为5），则18和16仍有公约数2，需进一步约分为9/8。

问题2：如何判断一个分数是否已经是最简形式？
答：一个分数是最简形式当且仅当分子和分母互质，即它们的最大公约数为1，可以通过以下方法判断：

1. 列举分子和分母的所有因数,检查是否有大于1的公约数。
2. 使用欧几里得算法计算GCD,若结果为1，则分数为最简形式。 7/8是最简分数，因为GCD(7, 8) = 1；而6/8不是最简分数，因为GCD(6, 8) = 2。