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大全有哪些典型例题？

shiwaishuzidu2025年10月07日 23:21:19学习资源114

，涉及去分母、移项、合并同类项等基本步骤，通过系统练习可熟练掌握解题技巧，以下从基础到综合，分类解析典型题型及解法,并附练习题巩固。

一元一次分数方程

核心步骤：方程两边同乘各分母的最简公分母，去分母后转化为整式方程求解,注意检验分母不为零。

例1：解方程 (\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} = 1)
解：最小公分母为6，两边同乘6得：
(3x - 2(x-1) = 6)
展开：(3x - 2x + 2 = 6)
合并：(x + 2 = 6)
解得：(x = 4)
检验：分母 (2 \neq 0)，(3 \neq 0),成立。

例2：(\frac{2}{x-3} = \frac{3}{x})
解：交叉相乘得 (2x = 3(x-3))
展开：(2x = 3x - 9)
移项：(-x = -9)
解得：(x = 9)
检验：分母 (x-3=6 \neq 0)，(x=9 \neq 0),成立。

练习题：

(\frac{x+1}{4} - \frac{x-2}{3} = 1)
(\frac{5}{x} - \frac{3}{x+2} = 1)

分式方程（含分式与整式混合）

关键点：需先通分或换元,注意增根检验。

例3：解方程 (\frac{x}{x-2} - 1 = \frac{3}{x^2-4})
解：因式分解分母 (x^2-4=(x-2)(x+2))，最小公分母为 ((x-2)(x+2))：
两边同乘得：(x(x+2) - (x-2)(x+2) = 3)
展开：(x^2 + 2x - (x^2 - 4) = 3)
化简：(2x + 4 = 3)
解得：(x = -\frac{1}{2})
检验：分母 (x-2=-2.5 \neq 0)，(x+2=1.5 \neq 0),成立。

例4：(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{6}{x^2-1})
解：最小公分母为 (x^2-1)，两边同乘得：
(2(x+1) + 3(x-1) = 6)
展开：(2x + 2 + 3x - 3 = 6)
合并：(5x - 1 = 6)
解得：(x = \frac{7}{5})
检验：分母 (x^2-1 \neq 0),成立。

练习题：
3. (\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{8}{x^2-4})
4. (\frac{x}{x+3} + \frac{2}{x-3} = 1)

含参数的分数方程

难点：需讨论参数取值对解的影响。

例5：(m) 为何值时，方程 (\frac{x}{x-1} + \frac{m}{x} = 1) 有解？
解：最小公分母为 (x(x-1))，去分母得：
(x^2 + m(x-1) = x(x-1))
展开：(x^2 + mx - m = x^2 - x)
化简：((m+1)x - m = 0)
解得：(x = \frac{m}{m+1})
条件：分母 (x \neq 0) 且 (x-1 \neq 0)，即 (\frac{m}{m+1} \neq 0) 且 (\frac{m}{m+1} \neq 1)
解得：(m \neq 0) 且 (m \neq -1)。

练习题：
5. 若方程 (\frac{x+a}{x-1} = 2) 无解，求 (a) 的值。

分数方程应用题

步骤：设未知数，列方程,求解并检验实际意义。

例6：一项工作，甲单独做需 (x) 天，乙单独做需 (x+2) 天，两人合作4天完成，求 (x)。
解：甲效率为 (\frac{1}{x})，乙为 (\frac{1}{x+2})，列方程：
(4\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2}\right) = 1)
去分母：(4(x+2 + x) = x(x+2))
展开：(8x + 8 = x^2 + 2x)
整理：(x^2 - 6x - 8 = 0)
解得：(x = 3 \pm \sqrt{17})（舍去负值，(x = 3 + \sqrt{17})）
检验：(x > 0),符合题意。

练习题：
6. 甲、乙两人从A地到B地，甲速度为 (v) km/h，乙比甲快 (\frac{1}{4}) 倍，若乙比甲早到30分钟，求A、B距离。

综合练习题

题号	方程	解答过程简述	答案
1	(\frac{3}{x} = \frac{2}{x-1})	交叉相乘：(3(x-1)=2x)	(x=3)
2	(\frac{x-1}{2} - \frac{x+3}{4} = 1)	最小公分母4：(2(x-1)-(x+3)=4)	(x=9)
3	(\frac{2}{x^2-1} + \frac{1}{x-1} = 1)	因式分解后通分：(2 + (x+1) = x^2-1)	(x=2)
4	(\frac{1}{x-2} + \frac{x}{2-x} = 3)	注意 (2-x=-(x-2))：(1 - x = 3(x-2))	(x=\frac{7}{4})
5	(\frac{x+1}{x-2} = \frac{a}{3})	去分母讨论：(3(x+1)=a(x-2))	(x=\frac{3+2a}{a-3})（(a \neq 3)）