分数除法讲义，如何快速掌握计算步骤与常见误区？

，它是基于分数乘法的基础上进行的逆向运算，也是解决实际生活中“平均分”问题的重要工具，理解分数除法的意义，掌握其计算方法，并能灵活运用，对培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义，本文将从分数除法的意义、计算法则、简便运算以及实际应用等方面进行详细阐述。

分数除法的意义

分数除法的意义与整数除法的意义基本相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，分数除法包含两种情况：

1. 分数除以整数：表示一个数的几分之几是多少，求这个数。$\frac{3}{4} \div 2$ 表示 $\frac{3}{4}$ 的 $\frac{1}{2}$ 是多少。
2. 一个数除以分数：表示一个数是另一个数的几分之几，求这个数。$1 \div \frac{3}{4}$ 表示 1 是 $\frac{3}{4}$ 的几分之几。

理解分数除法的意义是掌握其计算方法的前提,在实际问题中，分数除法常常与“平均分”、“包含除”等概念紧密相关，将 $\frac{4}{5}$ 米长的绳子平均分成 2 段，每段长多少米？这就是一个分数除以整数的问题，列式为 $\frac{4}{5} \div 2$，又如， $\frac{3}{4}$ 千克油可以装满 3 个同样的小瓶，平均每个小瓶装多少千克油？这也是分数除以整数的问题，列式为 $\frac{3}{4} \div 3$。

分数除法的计算法则

分数除法的计算法则是“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”，这里的“倒数”是指乘积是 1 的两个数。$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$，$1\frac{1}{2}$（即 $\frac{3}{2}$）的倒数是 $\frac{2}{3}$，5 的倒数是 $\frac{1}{5}$，需要注意的是，0 没有倒数。

分数除以整数的计算方法

分数除以整数（0 除外），等于分数乘这个整数的倒数，用字母表示为：$\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{bc}$（$b \neq 0, c \neq 0$）。

计算 $\frac{5}{6} \div 2$： 根据法则，$\frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{5 \times 1}{6 \times 2} = \frac{5}{12}$。

一个数除以分数的计算方法

一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数，这个数可以是整数、分数或带分数，如果是带分数，通常需要先将其化成假分数再进行计算，用字母表示为：$a \div \frac{b}{c} = a \times \frac{c}{b} = \frac{ac}{b}$（$a, b, c$ 均不为 0）。

计算 $12 \div \frac{3}{4}$： $12 \div \frac{3}{4} = 12 \times \frac{4}{3} = \frac{12 \times 4}{3} = \frac{48}{3} = 16$。

再如,计算 $\frac{7}{8} \div \frac{5}{6}$： $\frac{7}{8} \div \frac{5}{6} = \frac{7}{8} \times \frac{6}{5} = \frac{7 \times 6}{8 \times 5} = \frac{42}{40} = \frac{21}{20}$（化成最简分数）。

分数除法计算步骤总结

分数除法的简便运算

在分数除法运算中,有时可以通过约分使计算更加简便，在进行乘除混合运算时，通常将除法转化为乘法，然后一次性进行约分，而不是先算乘法再算除法，这样可以简化计算过程，减少出错的可能性。

计算 $\frac{7}{12} \div \frac{14}{15} \times \frac{8}{7}$： 先将除法转化为乘法：$\frac{7}{12} \times \frac{15}{14} \times \frac{8}{7}$。 然后观察分子和分母，进行约分： 7 和 7 可以约分，15 和 12 有公因数 3，14 和 8 有公因数 2。 约分过程如下： $\frac{1}{12} \times \frac{15}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{1}{4} \times \frac{5}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{1 \times 5 \times 8}{4 \times 2 \times 1} = \frac{40}{8} = 5$。

分数除法的实际应用

分数除法在实际生活中有着广泛的应用,主要用于解决涉及“平均分”和“倍数关系”的问题。

平均分问题

小明 $\frac{2}{3}$ 小时走了 $\frac{4}{5}$ 千米，他平均每小时走多少千米？ 这个问题是求速度，速度 = 路程 ÷ 时间，列式为 $\frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$（千米/小时），答：他平均每小时走 $\frac{6}{5}$ 千米。

求一个数是另一个数的几分之几

一根绳子长 $\frac{9}{10}$ 米，另一根绳子长 $\frac{3}{5}$ 米，第一根绳子的长度是第二根的几倍？ 列式为 $\frac{9}{10} \div \frac{3}{5} = \frac{9}{10} \times \frac{5}{3} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}$（倍），答：第一根绳子的长度是第二根的 $\frac{3}{2}$ 倍。

单位“1”未知的问题

在分数应用题中,如果单位“1”未知，通常用除法来解答，某修路队修了一段路的 $\frac{3}{4}$，正好是 $\frac{6}{7}$ 千米，这条路全长多少千米？ 这里“这条路全长”是单位“1”，未知，设全长为 $x$ 千米，则 $\frac{3}{4}x = \frac{6}{7}$，解这个方程 $x = \frac{6}{7} \div \frac{3}{4} = \frac{6}{7} \times \frac{4}{3} = \frac{24}{21} = \frac{8}{7}$（千米），答：这条路全长 $\frac{8}{7}$ 千米。

分数除法与分数乘法的联系与区别

分数除法是分数乘法的逆运算,它们之间的联系在于，分数除法可以通过转化为乘法来进行计算，区别在于意义不同：分数乘法是求一个数的几分之几是多少，是乘法的延伸；分数除法是已知一个数的几分之几是多少，求这个数，是除法的延伸，在实际应用中，要根据题意判断是用乘法还是除法。

FAQs

问：分数除法中，为什么除以一个不为零的数等于乘它的倒数？ 答：这可以从分数乘法的意义来理解。$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$ 表示 $\frac{3}{4}$ 是 $\frac{2}{5}$ 的几分之几，设这个数是 $x$，则有 $\frac{2}{5}x = \frac{3}{4}$，根据等式的基本性质，两边同时乘 $\frac{5}{2}$（$\frac{2}{5}$ 的倒数），得到 $x = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2}$。$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2}$，这样就将除法转化为了乘法，使得分数除法的计算与分数乘法统一起来，简化了运算过程。

问：在分数除法运算中，如何判断结果是否正确？ 答：判断分数除法结果是否正确，可以采用以下几种方法：

1. 验算法：根据除法与乘法的互逆关系，用商乘除数，看是否等于被除数，计算 $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$，验算：$\frac{5}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$，与被除数相等，说明计算正确。
2. 估算法：通过估算来判断结果是否合理。$\frac{7}{8} \div \frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$ 接近 1，除以 $\frac{1}{2}$ 相当于乘 2，结果应该接近 2，实际计算 $\frac{7}{8} \times 2 = \frac{14}{8} = 1\frac{3}{4}$，与估算接近，说明结果合理。
3. 意义检查法：结合分数除法的实际意义来检查。$\frac{4}{5}$ 千克油平均分成 2 份，每份应该是 $\frac{4}{5}$ 的一半，即 $\frac{2}{5}$ 千克，计算 $\frac{4}{5} \div 2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，与意义相符，说明正确。