六年级数学分数乘除法，孩子总算不对怎么办？

，它不仅是对分数基础知识的深化，更是为后续学习百分数、比例等知识奠定基础，分数乘除法的核心在于理解分数的意义以及运算算理，通过系统的练习和方法的总结,学生能够熟练掌握这部分内容。

分数乘法

分数乘法主要包括“分数乘整数”和“分数乘分数”两种情况,它们的运算算理既有联系又有区别。

分数乘整数
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，求几个相同分数的和的简便运算。$\frac{2}{5} \times 3$ 表示 3 个 $\frac{2}{5}$ 相加，即 $\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{2+2+2}{5} = \frac{6}{5}$。
计算方法：分数乘整数，用分子与整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的要先约分，结果是假分数的要化成带分数或整数。
$\frac{3}{8} \times 6 = \frac{3 \times 6}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$。
注意事项：约分时，分子和分母同时除以它们的最大公因数,确保结果是最简分数。

分数乘分数
分数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ 表示 $\frac{1}{2}$ 的 $\frac{1}{3}$ 是多少。
计算方法：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，同样，能约分的要先约分。
$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$。
算理理解：通过图形面积可以帮助理解，用一个长方形表示“1”，长方形的长为 1，宽为 1。$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$ 可以先取长方形的 $\frac{3}{4}$，再取这部分 $\frac{2}{5}$，得到的面积就是 $\frac{6}{20}$，即 $\frac{3}{10}$。

分数乘法的混合运算
分数乘法的混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先算乘法，再算加减法，有括号的先算括号里面的。
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{12} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
运算律：整数乘法的交换律、结合律、分配律对于分数乘法同样适用。
$\frac{5}{6} \times \frac{12}{17} \times \frac{17}{5} = \left(\frac{5}{6} \times \frac{17}{5}\right) \times \frac{12}{17} = \frac{17}{6} \times \frac{12}{17} = \frac{12}{6} = 2$（运用交换律和结合律简化计算）。

分数除法

分数除法是分数乘法的逆运算，主要包括“分数除以整数”和“一个数除以分数”两种情况。

分数除以整数
分数除以整数的意义与整数除法的意义相同，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数。$\frac{4}{5} \div 2$ 表示已知两个因数的积是 $\frac{4}{5}$，其中一个因数是 2，求另一个因数是多少。
计算方法：分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
$\frac{4}{5} \div 2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4 \times 1}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。
特殊情况：当分数的分子能被整数整除时，也可以直接用分子除以整数，分母不变。$\frac{6}{7} \div 3 = \frac{6 \div 3}{7} = \frac{2}{7}$。

一个数除以分数
一个数除以分数，包括整数除以分数和分数除以分数，它们的算理相同，都是转化为乘这个分数的倒数。
算理理解：通过“商不变性质”和“分数乘法”推导。$1 \div \frac{1}{2}$，根据分数的意义，$\frac{1}{2}$ 是 2 个 $\frac{1}{2}$，$1 \div \frac{1}{2} = 2$；而 $1 \times \frac{2}{1} = 2$，$1 \div \frac{1}{2} = 1 \times \frac{2}{1}$。
计算方法：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。
$\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$；$6 \div \frac{3}{4} = 6 \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$。

分数除法的混合运算
分数除法的混合运算顺序与整数相同，有括号的先算括号里面的，没有括号的按照从左到右的顺序计算。
注意：在混合运算中，遇到除法要转化为乘法，再利用乘法的运算律进行简便计算。
$\frac{1}{2} \div \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$；$\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \times \frac{6}{1} = 5$。

分数乘除法应用题

分数乘除法应用题是重点和难点，关键在于找准单位“1”的量，判断单位“1”已知还是未知,从而确定用乘法还是除法。

分数乘法应用题
特点：已知单位“1”的量，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法。
解题步骤：
（1）找准单位“1”的量；
（2）判断单位“1”是已知还是未知；
（3）根据数量关系列式计算。
六年级有学生 200 人，其中男生占 $\frac{3}{5}$，男生有多少人？
分析：单位“1”是六年级总人数（200人），已知，求男生的数量，即求 200 的 $\frac{3}{5}$ 是多少，用乘法。
列式：$200 \times \frac{3}{5} = 120$（人）。

分数除法应用题
特点：已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量，用除法。
解题步骤：
（1）找准单位“1”的量；
（2）判断单位“1”是未知量，设为 $x$；
（3）根据“单位‘1’的量 × 分率 = 对应量”列方程，或直接用除法计算。
六年级男生有 120 人，占全班人数的 $\frac{3}{5}$，全班有多少人？
分析：单位“1”是全班人数，未知，设为 $x$，根据题意列方程：$x \times \frac{3}{5} = 120$，解得 $x = 200$；或直接用除法：$120 \div \frac{3}{5} = 200$（人）。

分数乘除法应用题对比表

常见易错点及解决方法

1. 混淆乘除法的意义：在应用题中，容易因单位“1”的判断错误而用错运算方法，解决方法：牢记“单位‘1’已知用乘法，未知用除法或方程”。
2. 忘记约分：计算结果没有化成最简分数，解决方法：养成计算后约分的习惯，分子分母同时除以最大公因数。
3. 除法未转化为乘法：直接用分子除以分母或分母相乘，解决方法：牢记“除以一个数等于乘这个数的倒数”。
4. 运算顺序错误：混合运算中先算后面的运算，解决方法：严格按照运算顺序计算,有括号先算括号内。

分数乘除法的学习需要建立在扎实的分数基础知识之上，理解分数的意义和运算算理是关键，学生在学习过程中应注重概念的理解，通过图形、实例等方式直观感受运算过程，同时加强练习，总结解题方法和技巧，特别是应用题中单位“1”的判断，这样才能真正掌握分数乘除法,为后续数学学习打下坚实基础。

FAQs

问题1：分数乘法和分数除法的意义有什么区别？
解答：分数乘法的意义有两种：一是求几个相同分数的和的简便运算（与整数乘法意义相同），如 $\frac{2}{3} \times 4$ 表示 4 个 $\frac{2}{3}$ 相加；二是求一个数的几分之几是多少，如 $20 \times \frac{3}{4}$ 表示 20 的 $\frac{3}{4}$ 是多少，分数除法的意义是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，是分数乘法的逆运算，如 $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ 表示已知两个因数的积是 $\frac{3}{4}$，其中一个因数是 $\frac{1}{2}$,求另一个因数是多少。

问题2：如何快速判断分数应用题是用乘法还是除法？
解答：判断分数应用题用乘法还是除法，关键是找准单位“1”的量及其是否已知，如果单位“1”的量是已知的，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法，数量关系为“单位‘1’ × 分率 = 对应量”；如果单位“1”的量是未知的，已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量，用除法或列方程，数量关系可转化为“对应量 ÷ 分率 = 单位‘1’”。“一堆煤的 $\frac{2}{5}$ 是 10 吨，这堆煤有多少吨？”中，单位“1”是“这堆煤的总量”，未知，用除法：$10 \div \frac{2}{5} = 25$（吨）。