初中教案

《初中数学教案：一元一次方程的应用》

教学目标

1. 知识与技能目标
   • 学生能够理解一元一次方程在解决实际问题中的应用,掌握根据实际问题建立一元一次方程模型的方法。
   • 能熟练运用一元一次方程解决行程问题、工程问题、销售问题等常见的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2. 过程与方法目标
   • 通过对实际问题的分析和讨论,培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，体会数学建模的思想。
   • 让学生经历自主探究、合作交流的过程，提高学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
3. 情感态度与价值观目标
   • 培养学生对数学的兴趣,使学生感受到数学在实际生活中的广泛应用，增强学生学习数学的自信心。
   • 通过小组合作学习,培养学生的合作意识和团队精神。

教学重难点

1. 教学重点
   • 掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤和方法。
   • 能够准确找出实际问题中的等量关系,建立一元一次方程模型。
2. 教学难点
   • 正确分析实际问题中的数量关系,找出等量关系，尤其是对于一些复杂问题的理解和处理。
   • 引导学生将实际问题抽象为数学问题,培养学生的数学建模能力。

教学方法

讲授法、讨论法、探究法、练习法相结合。

教学过程

（一）导入新课（3分钟）

1. 展示一些生活中与数学相关的实际问题场景图片,如行程问题（汽车行驶、行人走路）、工程问题（建筑施工、修路）、销售问题（商品买卖）等，引导学生观察并思考这些实际问题与数学的联系。
2. 提问学生：“在生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，如何用数学的方法来解决这些问题呢？”从而引出本节课的主题——一元一次方程的应用。

（二）知识回顾（5分钟）

1. 复习一元一次方程的定义、解法等基础知识。
   • 请学生回答一元一次方程的概念,强调“一元”指一个未知数，“一次”指未知数的次数是1。
   • 回顾解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
   • 在黑板上出几道简单的一元一次方程让学生解,如(2x + 3 = 7)，(3(x 2) = 9)等，检查学生对解方程的掌握情况。

（三）探究新知（20分钟）

1. 行程问题

   • 举例：甲、乙两地相距(180)千米，一辆汽车从甲地出发开往乙地，速度为(60)千米/小时，汽车出发后经过多少小时到达乙地？
   • 引导学生分析问题：
     • 已知路程(s = 180)千米，速度(v = 60)千米/小时，求时间(t)。
     • 根据行程问题的基本关系式：路程 = 速度×时间，即(s = vt)。
   • 设汽车出发后经过(x)小时到达乙地，根据题意列出方程：(60x = 180)。
   • 解方程：(x = \frac{180}{60} = 3)。
   • 答：汽车出发后经过(3)小时到达乙地。
   • 归纳行程问题中列方程的一般思路：明确路程、速度、时间三个量之间的关系，找出等量关系，设未知数，列方程求解。
   • 练习：小明和小红家相距(1500)米，两人同时从家中出发相向而行，小明的速度是(50)米/分钟，小红的速度是(70)米/分钟，问经过多少分钟两人相遇？
     • 引导学生分析：两人相向而行，相遇时他们走过的路程之和等于两家之间的距离。
     • 设经过(x)分钟两人相遇，根据题意列出方程：(50x + 70x = 1500)。
     • 解方程：(120x = 1500)，(x = \frac{1500}{120} = 12.5)。
     • 答：经过(12.5)分钟两人相遇。

2. 工程问题

   • 举例：一项工程，甲单独做需要(10)天完成，乙单独做需要(15)天完成，甲、乙两人合作完成这项工程需要多少天？
   • 引导学生分析问题：
     • 把这项工程看作单位“(1)”，甲单独做每天完成工程的(\frac{1}{10})，乙单独做每天完成工程的(\frac{1}{15})。
     • 设甲、乙两人合作完成这项工程需要(x)天，那么甲在(x)天内完成工程的(\frac{x}{10})，乙在(x)天内完成工程的(\frac{x}{15})，两人合作完成整个工程，即(\frac{x}{10}+\frac{x}{15}=1)。
   • 解方程：先找到分母的最小公倍数(30)，两边同时乘以(30)，得到(3x + 2x = 30)，即(5x = 30)，解得(x = 6)。
   • 答：甲、乙两人合作完成这项工程需要(6)天。
   • 归纳工程问题中列方程的要点：通常把整个工程看作单位“(1)”，根据工作效率×工作时间 = 工作量的关系，找出等量关系列方程。
   • 练习：一项工程，甲队单独做需要(8)天完成，乙队单独做需要(12)天完成，现在甲队先做(2)天，剩下的由乙队单独完成，乙队还需要多少天才能完成这项工程？
     • 分析：甲队先做(2)天，完成工程的(\frac{2}{8}=\frac{1}{4})，剩下工程的(1 \frac{1}{4}=\frac{3}{4})由乙队单独完成。
     • 设乙队还需要(x)天才能完成这项工程，根据题意列出方程：(\frac{x}{12}=\frac{3}{4})。
     • 解方程：(x = \frac{3}{4}\times12 = 9)。
     • 答：乙队还需要(9)天才能完成这项工程。

3. 销售问题

   • 举例：某商店销售一种商品，进价为每件(20)元，售价为每件(30)元，每月可卖出(400)件，如果每件商品的售价每上涨(1)元，每月就会少卖出(10)件，那么每件商品的售价上涨多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？
   • 引导学生分析问题：
     • 设每件商品的售价上涨(x)元，则每件商品的利润为((30 + x 20))元，即((10 + x))元。
     • 每月卖出的商品数量为((400 10x))件。
     • 每月的销售利润 = 每件商品的利润×每月卖出的商品数量，即((10 + x)(400 10x))。
   • 列出函数关系式：(y=(10 + x)(400 10x))，y)表示每月的销售利润。
   • 将函数关系式化简为一般形式：(y = -10x^2 + 300x + 4000)。
   • 这是一个二次函数,根据二次函数的性质，当(x = -\frac{b}{2a})时，函数取得最大值，这里(a = -10)，(b = 300)，所以当(x = -\frac{300}{2\times(-10)} = 15)时，(y)取得最大值。
   • 将(x = 15)代入函数关系式，可得最大利润：(y = -10\times15^2 + 300\times15 + 4000 = 6250)元。
   • 答：每件商品的售价上涨(15)元时，每月的销售利润最大，最大利润是(6250)元。
   • 归纳销售问题中列方程或函数关系式的关键：明确进价、售价、销售量、利润之间的关系，根据题意找出等量关系或函数关系式。
   • 练习：某商场销售一种服装，原价每件(100)元，每天可售出(30)件，后来进行降价销售，发现每降价(1)元，每天就多售出(5)件，如果商场每天要盈利(3125)元，每件服装应降价多少元？
     • 分析：设每件服装降价(x)元，则每件服装的售价为((100 x))元，每件服装的利润为((100 x 成本价))元，这里假设成本价为(y)元（可根据题目进一步分析是否需要知道成本价来解题），每天卖出的服装数量为((30 + 5x))件。
     • 根据每天盈利 = 每件服装的利润×每天卖出的服装数量，可列出方程：((100 x y)(30 + 5x) = 3125)，但此题中如果没有给出成本价相关信息，我们可以通过另一种方式思考，即总利润 = 每件利润×销售数量，而每件利润 = 售价 进价，进价在这里可以看作是一个固定值（虽然题目未明确给出，但我们可以用代数式表示），所以我们设每件服装降价(x)元后的利润为((100 x a))元（这里(a)代表进价相关的一个固定值），则方程可列为((100 x a)(30 + 5x)=3125)，不过这种解法相对复杂，我们可以换一种思路，考虑总销售额减去总成本等于总利润，总销售额 = 售价×销售数量 = ((100 x)(30 + 5x))，总成本 = 进价×销售数量 = (a(30 + 5x))，所以可列方程：((100 x)(30 + 5x) a(30 + 5x)=3125)，但由于题目没有给出进价相关信息，我们在解题时可能需要进一步分析或者采用其他方法，其实更简单的方法是不考虑进价，直接根据利润的计算方式来列方程，即每件利润 = 售价 进价，这里我们不知道进价，但我们知道原来每天盈利情况，原来每天盈利 = 原售价×原销售数量 原进价×原销售数量 = (100\times30 a\times30)（这里(a)还是代表进价相关的一个固定值），现在降价后每天盈利 = ((100 x)(30 + 5x) a(30 + 5x)=3125)，我们可以把原来的盈利表达式代入现在的方程中，即(100\times30 a\times30 + (100 x)(30 + 5x) a(30 + 5x)=3125)，化简可得((100 x)(30 + 5x) 30a=3125)，但由于我们不知道(a)的值，所以这种方法也不太容易求解，这时候我们可以换个角度思考，题目要求的是每天盈利(3125)元，我们可以直接根据每件利润×销售数量 = 总利润来列方程，即设每件服装降价(x)元后的利润为(z)元，则(z=(100 x a))，销售数量为((30 + 5x))件，所以可列方程：(z(30 + 5x)=3125)，又因为原来每件利润为(100 a)元，每天销售(30)件，所以原来每天盈利为((100 a)\times30)元，根据题意可知现在每天盈利比原来多或者少一定的数值（这里需要根据题目进一步分析），但由于题目没有明确给出这种关系，所以我们暂时无法直接求出(a)的值，不过我们可以观察到方程中有(z)和(x)两个未知数，我们需要找到另一个方程来联立求解，我们可以利用每件利润和售价、进价之间的关系，即(z = 100 x a)，这里我们仍然不知道(a)的值，但是我们可以把这个式子进行变形，得到(a = 100 x z)，然后将其代入前面的盈利方程中，即(z(30 + 5x)=3125)，得到一个关于(z)和(x)的方程，我们可以尝试用试值法或者其他方法来求解这个方程，我们可以假设(z)为一个整数，然后尝试不同的(z)值来找到满足方程的(x)值，经过尝试，我们发现当(z = 25)时，方程变为(25(30 + 5x)=3125)，解得(x = 5)，所以每件服装应降价(5)元。

（四）课堂小结（5分钟）

1. 请学生回顾本节课所学的内容,包括行程问题、工程问题、销售问题中列一元一次方程或函数关系式的方法以及解题的一般步骤。
2. 强调在解决实际问题时,关键是要找出等量关系，将实际问题转化为数学问题，建立方程或函数模型求解。
3. 对学生在本节课中的表现进行评价,肯定学生的优点，鼓励学生在今后的学习中继续努力。

（五）布置作业（2分钟）

1. 课本上相关的练习题,包括行程问题、工程问题、销售问题等不同类型的题目，要求学生认真完成，巩固所学知识。
2. 拓展作业：让学生自己找一个生活中的实际问题，用一元一次方程或函数关系式来解决问题，并写出解题过程和心得体会。

相关问题与解答

问题1：在行程问题中，如果涉及到顺风和逆风的情况，如何列方程求解？

解答：在行程问题中，如果涉及到顺风和逆风的情况，需要考虑风速对速度的影响，设物体在无风时的速度为(v)，风速为(w)，则顺风时的速度为(v + w)，逆风时的速度为(v w)，一艘轮船在静水中的速度为(20)千米/小时，水流速度为(5)千米/小时，轮船顺流而下行驶一段路程后，又逆流而上返回原地，若整个过程共用了(6)小时，求这段路程的长度，设这段路程的长度为(s)千米，则顺流而下的时间为(\frac{s}{20 + 5})小时，逆流而上的时间为(\frac{s}{20 5})小时，根据题意可列方程：(\frac{s}{20 + 5}+\frac{s}{20 5}=6)，解这个方程即可求出(s)的值。

问题2：在工程问题中，如果有多个队伍参与工程，且工作效率不同，如何计算他们合作完成工程的时间？

解答：在工程问题中，如果有多个队伍参与工程，且工作效率不同，可以将整个工程看作单位“(1)”，分别计算出每个队伍的工作效率（即每天完成工程的几分之几），然后根据工作效率之和乘以工作时间等于工作量的关系列方程求解，一项工程，甲队单独做需要(10)天完成，乙队单独做需要(15)天完成，丙队单独做需要(20)天完成，现在甲、乙、丙三队合作完成这项工程，需要多少天？甲队的工作效率为(\frac{1}{10})，乙队的工作效率为(\frac{1}{15})，丙队的工作效率为(\frac{1}{20})，设三队合作完成这项工程需要(x)天，根据题意可列方程：((\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20})x = 1)，解这个方程即可求出(x)的值，即三