数学教案
教学目标
- 知识与技能目标
- 学生能够理解函数的概念,包括定义域、值域和对应关系。
- 熟练掌握常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数)的表达式、图像和性质。
- 能够运用函数的知识解决简单的实际问题,如建立函数模型、求解函数值等。
- 过程与方法目标
- 通过实例引入函数概念,培养学生从具体到抽象的思维能力。
- 在研究函数图像和性质的过程中,让学生经历观察、分析、归纳的数学思维过程,提高学生的数学探究能力。
- 引导学生运用函数知识解决实际问题,培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
- 情感态度与价值观目标
- 让学生感受数学与日常生活和其他学科的紧密联系,体会数学的实用价值,激发学生学习数学的兴趣。
- 在小组合作学习和探究活动中,培养学生的合作交流意识和团队精神,增强学生学习数学的自信心。
教学重难点
- 教学重点
- 函数的概念、定义域和值域的确定。
- 常见函数的表达式、图像和性质。
- 运用函数知识建立数学模型解决实际问题。
- 教学难点
- 对函数概念中“一一对应”关系的理解。
- 函数图像和性质的灵活运用,尤其是在复杂问题情境中的应用。
- 将实际问题抽象为函数模型的过程。
教学方法
- 讲授法:讲解函数的基本概念、理论知识和解题方法,确保学生掌握基础知识。
- 演示法:通过多媒体演示函数图像的绘制过程,如使用几何画板展示一次函数、二次函数和反比例函数图像的变化,让学生直观地理解函数图像与参数的关系。
- 讨论法:组织学生进行小组讨论,例如在探讨函数性质时,让学生分组讨论不同函数的单调性、奇偶性等,促进学生之间的思想交流,培养学生的合作学习能力和思维能力。
- 练习法:布置适量的练习题,让学生在练习中巩固所学知识,提高解题能力,练习题包括基础题、拓展题和实际应用题,以满足不同层次学生的学习需求。
教学过程
(一)函数概念的引入(10分钟)
- 实例展示
- 展示生活实例:如汽车行驶速度与时间的关系(匀速行驶时,路程 = 速度×时间,这里速度是常量,时间和路程是变量,路程是时间的函数)、商店销售商品的收入与销售量的关系(收入 = 单价×销售量,单价是常量,销售量和收入是变量,收入是销售量的函数)等。
- 引导学生观察这些实例中变量之间的关系,思考如何用数学语言来描述这种关系。
- 概念讲解
- 给出函数的定义:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y = f(x),x∈A,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{y|y = f(x),x∈A}叫做函数的值域。
- 强调函数概念中的关键点:“两个非空数集”“确定的对应关系”“唯一确定”,通过举例和反例帮助学生理解,如y =±√x不是函数,因为对于一个正数x,有两个y值与之对应。
(二)函数的定义域和值域(10分钟)
- 定义域的确定
- 讲解定义域的概念:函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。
- 举例说明如何确定函数的定义域:
- 对于整式函数,如y = 2x + 3,其定义域为全体实数。
- 对于分式函数,如y = 1/(x 1),分母不能为零,所以定义域是x≠1。
- 对于根式函数,如y =√(x 2),被开方数必须非负,即x 2≥0,所以定义域是x≥2。
- 对于对数函数,如y = log₂(x + 1),真数必须大于零,即x + 1>0,所以定义域是x> 1。
- 给出一些函数解析式,让学生练习确定定义域。
- 值域的确定
- 讲解值域的概念:函数的值域是函数值的集合。
- 介绍确定值域的常用方法:
- 观察法:对于一些简单的函数,通过观察函数的表达式和定义域,直接得出值域,例如y = x² + 1,由于x²≥0,所以x² + 1≥1,值域为[1,+∞)。
- 配方法:对于二次函数,可以通过配方法将其化为顶点式,从而确定值域,如y = x² + 2x + 3,配方得y = (x 1)²+4,由于(x 1)²≥0,(x 1)²≤0,即y≤4,所以值域为(-∞,4]。
- 图像法:通过绘制函数图像,观察图像的最高点和最低点来确定值域,例如对于反比例函数y = k/x(k≠0),其图像是双曲线,当k>0时,图像位于一、三象限,值域为(-∞,0)∪(0,+∞);当k<0时,图像位于二、四象限,值域同样为(-∞,0)∪(0,+∞)。
- 让学生尝试用不同的方法确定一些函数的值域。
(三)常见函数的图像和性质(15分钟)
- 一次函数(y = kx + b,k≠0)
- 图像绘制:通过列表、描点、连线的方法绘制一次函数的图像,例如绘制y = 2x + 1的图像,取x = 2、1、0、1、2,计算出对应的y值,然后在坐标系中描点并连线。
- 性质讲解:
- 当k>0时,函数图像从左到右上升,y随x的增大而增大;当k<0时,函数图像从左到右下降,y随x的增大而减小。
- 直线y = kx + b与y轴的交点坐标为(0,b)。
- 练习:给出不同k和b值的一次函数,让学生画出图像并说出其性质。
- 二次函数(y = ax² + bx + c,a≠0)
- 图像绘制:先介绍二次函数的顶点式y = a(x h)²+k,h,k)是顶点坐标,通过配方将一般式化为顶点式,然后绘制图像,例如绘制y = x² 2x 3的图像,配方得y = (x 1)² 4,顶点坐标为(1,4),根据顶点和开口方向(由a的正负决定)绘制图像。
- 性质讲解:
- 开口方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
- 对称轴:直线x = b/(2a)是抛物线的对称轴。
- 顶点坐标:(b/(2a),(4ac b²)/(4a))是抛物线的顶点。
- 增减性:当a>0时,在对称轴左侧(x< b/(2a)),y随x的增大而减小;在对称轴右侧(x> b/(2a)),y随x的增大而增大,当a<0时,增减性相反。
- 练习:给出二次函数的解析式,让学生确定开口方向、对称轴、顶点坐标,并绘制图像。
- 反比例函数(y = k/x,k≠0)
- 图像绘制:取k>0和k<0两种情况,分别选取若干x值,计算出对应的y值,在坐标系中描点并连线,得到反比例函数的图像(双曲线)。
- 性质讲解:
- 当k>0时,双曲线位于一、三象限;当k<0时,双曲线位于二、四象限。
- 在每个象限内,y随x的增大而增大(k>0时)或减小(k<0时)。
- 双曲线无限接近坐标轴,但永不与坐标轴相交。
- 练习:给出不同k值的反比例函数,让学生画出图像并描述其性质。
(四)函数的应用(10分钟)
- 建立函数模型
- 举例说明如何将实际问题转化为函数模型:如某工厂生产一种产品,每件产品的生产成本为50元,固定成本为10000元,每件产品的售价为80元,设生产x件产品,总成本为C元,总收入为R元,利润为P元,则C = 50x + 10000,R = 80x,P = R C = 30x 10000,这里P就是关于x的函数。
- 引导学生分析问题中的变量和常量,找出它们之间的关系,从而建立函数模型。
- 解决实际问题
- 给出实际问题:如某商场销售一种服装,每件进价为100元,标价为150元,在销售过程中发现,每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件)满足一次函数关系,当x = 140时,y = 20;当x = 130时,y = 30,求该商场每天销售这种服装的最大利润是多少?
- 解题思路:首先根据已知条件求出销售量y与销售价格x之间的函数关系式,然后表示出利润P与x的函数关系式,最后利用二次函数的性质求出最大利润。
- 详细讲解解题过程:
- 设y = kx + b,将x = 140,y = 20和x = 130,y = 30代入,得到方程组:
- {20 = 140k + b
- {30 = 130k + b
- 解方程组得:k = 1,b = 160,所以y = x + 160。
- 利润P = (x 100)y = (x 100)(x + 160) = x² + 260x 16000。
- 这是一个二次函数,其开口向下,最大值在顶点处,顶点的横坐标为x = b/(2a) = 260/(2×(1)) = 130。
- 将x = 130代入P的表达式,得到P = (130)² + 260×130 16000 = 900。
- 所以该商场每天销售这种服装的最大利润是900元。
- 设y = kx + b,将x = 140,y = 20和x = 130,y = 30代入,得到方程组:
(五)课堂小结(5分钟)
- 知识回顾
- 与学生一起回顾函数的概念、定义域和值域的确定方法、常见函数的图像和性质以及函数的应用。
- 强调重点知识和易错点,如函数概念中的“唯一确定”、确定值域的方法选择、一次函数和二次函数的性质区别等。
- 学习情况评价
对学生在课堂上的表现进行评价,包括参与讨论的积极性、回答问题的准确性、练习完成的情况等,肯定学生的优点,鼓励学生继续保持,同时指出存在的问题和不足之处,提出改进的建议。
(六)布置作业(5分钟)
- 书面作业
- 完成课本上相关章节的练习题和习题,包括函数概念的理解、定义域和值域的确定、常见函数的图像和性质以及函数应用等方面的题目。
- 要求学生认真书写解题过程,注意规范性和准确性。
- 拓展作业
- 让学生选择一个实际生活中的问题,建立函数模型并求解,调查家庭用水情况,建立水费与用水量的函数关系,并计算在某个用水量范围内的水费。
- 鼓励学生尝试用不同的方法解决问题,并撰写简短的解题报告,阐述自己的解题思路和方法。
相关问题与解答
问题1:如何判断一个对应关系是否是函数?
解答:判断一个对应关系是否是函数,关键在于看对于定义域内的每一个自变量x,是否在值域中有唯一确定的y与之对应,如果满足这个条件,那么这个对应关系就是函数;否则,就不是函数,对于对应关系y² = x,当x>0时,对于一个正数x,会有两个y值(正负√x)与之对应,所以y² = x不是函数,而y = 2x + 1,对于每一个实数x,都有唯一确定的y值与之对应,所以它是函数。
问题2:在确定函数值域时,配方法适用于哪些函数?如何使用配方法确定值域?
解答:配方法主要适用于二次函数,对于形如y = ax² + bx + c(a≠0)的二次函数,可以通过配方法将其化为顶点式y = a(x h)²+k的形式来确定值域,具体步骤如下:
- 提取二次项系数a,将二次项和一次项放在一起进行配方,即y = a(x² + (b/a)x) + c。
- 对括号内的式子进行配方,加上并减去一次项系数一半的平方,即y = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))² (b/(2a))²] + c = a(x + b/(2a))² a×(b/(2a))² + c。
- 化简得到顶点式y = a(x h)²+k,其中h = b/(2a),k = c b²/(4a)。
- 根据a的正负确定抛物线的开口方向,进而确定值域,当a>0时,抛物线开口向上,函数在顶点处取得最小值k,值域为[k,+∞);当a<0时,抛物线开口向下,函数在顶点处取得最大值k,值域为(-∞
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