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分母是24的最简真分数有哪些?

shiwaishuzidu2025年10月18日 11:12:35学习资源5

分母是24的最简真分数有:在数学中,分数是由分子和分母组成的表达式,表示整体的一部分,真分数是指分子小于分母的分数,而最简真分数则是指分子和分母除了1以外没有其他公因数的真分数,分母为24的最简真分数,即分子与24互质的真分数,要找出所有这样的分数,我们需要先确定1到23中与24互质的整数,因为这些数作为分子时,分数才能满足最简条件。

我们需要明确互质的概念,两个数互质是指它们的最大公因数为1,24的质因数分解为2³×3,与24互质的数不能是2或3的倍数,也就是说,我们需要找出1到23之间所有不被2或3整除的数,这些数将作为分子,与24组成最简真分数。

我们列出1到23的所有整数,并筛选出与24互质的数,具体步骤如下:

  1. 列出1到23的所有整数:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23。
  2. 排除2的倍数:即偶数,包括2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22。
  3. 排除3的倍数:即3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,注意,有些数既是2的倍数又是3的倍数(如6, 12, 18),但已经在第二步中被排除,因此只需排除剩余的3的倍数。
  4. 剩下的数为:1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。

这些数与24的最大公因数均为1,因此它们可以作为分子,与24组成最简真分数,具体分数如下:

  • 1/24
  • 5/24
  • 7/24
  • 11/24
  • 13/24
  • 17/24
  • 19/24
  • 23/24

为了更直观地展示这些分数及其性质,我们可以通过表格来呈现:

分子 分母 分数 是否为最简真分数 最大公因数
1 24 1/24 1
5 24 5/24 1
7 24 7/24 1
11 24 11/24 1
13 24 13/24 1
17 24 17/24 1
19 24 19/24 1
23 24 23/24 1

从表格中可以看出,这些分数的分子均小于分母,且分子与分母的最大公因数均为1,因此它们都是最简真分数,需要注意的是,分母为24的最简真分数共有8个,这是因为1到23中与24互质的数共有8个。

为了进一步验证这一结论,我们可以使用欧拉函数(Euler's totient function)φ(n),该函数用于计算1到n中与n互质的整数的个数,对于n=24,φ(24)的值为8,这与我们手动筛选出的结果一致,欧拉函数的计算公式为:如果n的质因数分解为n = p₁^k₁ × p₂^k₂ × ... × p_m^k_m,则φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × ... × (1 - 1/p_m),对于24=2³×3,φ(24) = 24 × (1 - 1/2) × (1 - 1/3) = 24 × 1/2 × 2/3 = 8,分母为24的最简真分数共有8个。

在实际应用中,最简真分数具有广泛的意义,在概率论中,最简真分数可以表示等可能事件的基本概率;在分数运算中,最简分数可以简化计算过程;在数论中,互质数的研究是理解数论性质的基础,掌握如何寻找最简真分数对于数学学习具有重要意义。

分母为24的最简真分数共有8个,分别是1/24、5/24、7/24、11/24、13/24、17/24、19/24和23/24,这些分数的分子与24互质,且分子小于分母,因此满足最简真分数的定义,通过手动筛选和欧拉函数的验证,我们确认了这一结论的正确性,理解这一过程不仅有助于掌握分数的基本性质,也为后续学习更复杂的数学概念奠定了基础。


相关问答FAQs:

  1. 如何判断一个分数是否为最简真分数?
    判断一个分数是否为最简真分数需要满足两个条件:分数必须是真分数,即分子小于分母;分子和分母必须互质,即它们的最大公因数为1,对于分数5/24,由于5 < 24且gcd(5,24)=1,因此它是最简真分数;而对于分数6/24,虽然6 < 24,但gcd(6,24)=6≠1,因此它不是最简真分数。

  2. 为什么分母为24的最简真分数只有8个?
    分母为24的最简真分数的个数取决于1到23中与24互质的整数的个数,24的质因数为2和3,因此与24互质的数不能是2或3的倍数,在1到23中,共有8个数(1,5,7,11,13,17,19,23)满足这一条件,因此分母为24的最简真分数共有8个,这一结果也可以通过欧拉函数φ(24)=8验证。

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