如何快速掌握计算技巧？

，它是基于整数乘法和分数意义基础上的延伸，也是后续学习分数除法、百分数、比及比例等知识的基础，理解分数乘法的算理、掌握其计算方法，并能够解决实际问题，是学生数学能力发展的重要标志，下面将从分数乘法的意义、计算法则、实际应用及注意事项等方面进行详细阐述。

分数乘法的意义

分数乘法的意义需要从两个层面来理解：一是“求一个数的几分之几是多少”，这是分数乘法最核心、最基础的意义；二是“求几个相同分数的和”,这是整数乘法意义的推广。

1. “求一个数的几分之几是多少”
   “一根绳子长10米，用去了它的$\frac{3}{5}$，用去了多少米？”这里的“用去了它的$\frac{3}{5}$”就是指10米的$\frac{3}{5}$，即求10$\times\frac{3}{5}$，从分数的意义来看，$\frac{3}{5}$表示“把单位‘1’平均分成5份，取其中的3份”，所以10米的$\frac{3}{5}$就是把10米平均分成5份，每份是10$\div$5=2米，再取3份，就是2$\times$3=6米，10$\times\frac{3}{5}$=6米，这类问题中，“一个数”是单位“1”的量，“几分之几”是分率,乘积就是所求的具体量。

2. “求几个相同分数的和”
   “$\frac{2}{7}$+$\frac{2}{7}$+$\frac{2}{7}$”就是求3个$\frac{2}{7}$相加，根据乘法的定义，可以用乘法表示为3$\times\frac{2}{7}$，计算时，3$\times\frac{2}{7}$=$\frac{2}{7}$+$\frac{2}{7}$+$\frac{2}{7}$=$\frac{2+2+2}{7}$=$\frac{6}{7}$，这与整数乘法“求几个相同加数的和”的意义完全一致,只是加数变成了分数。

分数乘法的计算法则

分数乘法的计算法则是基于分数乘法的意义推导而来的,主要包括以下几种情况：

分数与整数相乘

分数与整数相乘，用整数与分数的分子相乘的积作分子，分母不变，计算时要注意能约分的要先约分（即在分子分母之间找最大公因数进行约分），可以使计算简便。
法则：整数$\times$分数=$\frac{整数\times分子}{分母}$（能约分的先约分）
示例：6$\times\frac{3}{4}$=$\frac{6\times3}{4}$=$\frac{18}{4}$=$\frac{9}{2}$（先约分：6和4的最大公因数是2，6$\div$2=3，4$\div$2=2，\frac{6\times3}{4}$=$\frac{3\times3}{2}$=$\frac{9}{2}$）。

分数与分数相乘

分数与分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，同样，计算前要先观察分子分母有没有公因数，有公因数的要先约分，再计算。
法则：分数$\times$分数=$\frac{分子\times分子}{分母\times分母}$（能约分的先约分）
示例：$\frac{2}{3}$$\times\frac{3}{5}$=$\frac{2\times3}{3\times5}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$（先约分：2和5没有公因数，3和3的最大公因数是3，约分后为$\frac{2\times1}{1\times5}$=$\frac{2}{5}$）。

带分数乘法

带分数乘法需要先将带分数化成假分数，再按照分数乘法的法则进行计算。
步骤：带分数$\rightarrow$假分数$\rightarrow$按分数乘法法则计算$\rightarrow$结果是最简分数（如果是假分数，可以化成带分数）
示例：1$\frac{1}{2}$$\times\frac{2}{3}$=$\frac{3}{2}$$\times\frac{2}{3}$=$\frac{3\times2}{2\times3}$=$\frac{6}{6}$=1。

分数乘法的简便运算

分数乘法同样满足乘法交换律、结合律和分配律，可以利用这些运算定律进行简便计算。

• 乘法交换律：a$\times$b=b$\times$a
  示例：$\frac{5}{6}$$\times$12=12$\times\frac{5}{6}$=10（12和6先约分，12$\div$6=2，2$\times$5=10）
• 乘法结合律：(a$\times$b)$\times$c=a$\times$(b$\times$c)
  示例：$\frac{3}{4}$$\times\frac{2}{5}$$\times\frac{5}{3}$=$\frac{3}{4}$$\times$($\frac{2}{5}$$\times\frac{5}{3}$)=$\frac{3}{4}$$\times\frac{10}{15}$=$\frac{3}{4}$$\times\frac{2}{3}$=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$（更简便的是先算$\frac{2}{5}$$\times\frac{5}{3}$=$\frac{10}{15}$=$\frac{2}{3}$，再算$\frac{3}{4}$$\times\frac{2}{3}$）
• 乘法分配律：(a+b)$\times$c=a$\times$c+b$\times$c
  示例：($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$)$\times\frac{6}{7}$=$\frac{1}{2}$$\times\frac{6}{7}$+$\frac{1}{3}$$\times\frac{6}{7}$=$\frac{6}{14}$+$\frac{6}{21}$=$\frac{3}{7}$+$\frac{2}{7}$=$\frac{5}{7}$（先利用分配律展开,再分别计算并约分）

分数乘法的实际应用

分数乘法在实际生活中有着广泛的应用,主要体现在以下几个方面：

求一个数的几分之几是多少

这是分数乘法最直接的应用，如求“一堆煤的$\frac{2}{3}$”“一本书的页数的$\frac{3}{4}$”等。
示例：某班有50名学生，其中男生占$\frac{3}{5}$，男生有多少人？
解：50$\times\frac{3}{5}$=30（人），答：男生有30人。

求比一个数多（或少）几分之几的数是多少

这类问题中，关键是要找准单位“1”的量，明确“多几分之几”或“少几分之几”是在单位“1”的基础上增加或减少的。

• 求比一个数多几分之几的数：单位“1”的量$\times$(1+$\frac{几}{几}$)=所求的量
  示例：一件上衣原价300元，降价$\frac{1}{6}$后，现价是多少元？
  解：降价$\frac{1}{6}$是指原价的$\frac{1}{6}$，现价是原价的(1-$\frac{1}{6}$)=$\frac{5}{6}$。
  300$\times\frac{5}{6}$=250（元），答：现价是250元。
• 求比一个数少几分之几的数：单位“1”的量$\times$(1-$\frac{几}{几}$)=所求的量
  示例：修一条路，已经修了全长的$\frac{3}{4}$，还剩800米未修，这条路全长多少米？
  解：未修的800米占全长的(1-$\frac{3}{4}$)=$\frac{1}{4}$，设全长为x米，则x$\times\frac{1}{4}$=800，x=3200（米），答：这条路全长3200米。

连续求一个数的几分之几是多少

这类问题涉及多个分数，需要明确每个分数对应的单位“1”是否相同，逐步求解。
示例：一堆煤有12吨，第一次用去了它的$\frac{1}{3}$，第二次用去了剩下的$\frac{1}{2}$，还剩多少吨？
解：第一次用去：12$\times\frac{1}{3}$=4（吨），剩下：12-4=8（吨）；
第二次用去：8$\times\frac{1}{2}$=4（吨），还剩：8-4=4（吨）。
答：还剩4吨。

分数乘法计算的注意事项

1. 找准单位“1”：在解决实际问题时，准确判断单位“1”的量是关键，单位“1”的量已知时用乘法，未知时用除法。
2. 约分的技巧：计算前要先观察分子分母有没有公因数，尽量在计算前约分，这样可以简化计算，避免得到较大的分子分母后再约分。
3. 结果的化简：计算结果如果不是最简分数，一定要化成最简分数（即分子分母互质）；如果是假分数，可以根据需要化成带分数。
4. 运算顺序：在没有括号的算式里，应从左到右依次计算；有括号的，要先算括号里面的,灵活运用运算定律可以使计算简便。

分数乘法与整数乘法的联系与区别

分数乘法是在整数乘法的基础上发展起来的,它们之间既有联系又有区别：

分数乘法的教学建议

在教学中，应注重以下几点：

1. 注重算理理解：通过图形（如长方形、圆形等）分割、操作等活动，帮助学生直观理解分数乘法的意义，避免机械记忆计算法则。
2. 强化对比练习：将分数乘法与整数乘法、分数加法等进行对比，区分它们的异同，防止混淆（如$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≠$\frac{1}{2+3}$，而$\frac{1}{2}$$\times\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$）。
3. 联系生活实际：设计贴近学生生活的实际问题，让学生感受分数乘法的应用价值，培养解决实际问题的能力。

相关问答FAQs

问题1：分数乘法中，为什么“分子乘分子，分母乘分母”？这个法则是怎么推导出来的？
解答：分数乘法“分子乘分子，分母乘分母”的法则是基于分数的意义和乘法的定义推导出来的，以$\frac{a}{b}$$\times\frac{c}{d}$为例，$\frac{a}{b}$表示“把单位‘1’平均分成b份，取其中的a份”，$\frac{c}{d}$表示“把单位‘1’平均分成d份，取其中的c份”，\frac{a}{b}$$\times\frac{c}{d}$就相当于先求$\frac{a}{b}$的$\frac{c}{d}$，即把$\frac{a}{b}$平均分成d份，每份是$\frac{a}{b\times d}$，再取其中的c份，\frac{a\times c}{b\times d}$，分数乘法就是分子相乘、分母相乘。$\frac{2}{3}$$\times\frac{3}{4}$就是把$\frac{2}{3}$平均分成4份，每份是$\frac{2}{3\times4}$=$\frac{2}{12}$，取3份就是$\frac{2\times3}{12}$=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{2\times3}{3\times4}$=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$。

问题2：在计算分数乘法时，什么时候需要先约分？不先约分会有什么影响？
解答：在计算分数乘法时，只要分子和分母有公因数，都应该先约分，约分可以在计算前进行（即在分子相乘、分母相乘之前，先约去分子和分母的公因数），也可以在计算后进行（即分子分母相乘得到结果后，再约分），但通常推荐先约分，这样可以简化计算过程，减少大数相乘的麻烦，降低计算错误的概率，计算$\frac{12}{25}$$\times\frac{5}{6}$，如果先约分：12和6的最大公因数是6，12$\div$6=2，6$\div$6=1；5和25的最大公因数是5，5$\div$5=1，25$\div$5=5，所以原式=$\frac{2\times1}{5\times1}$=$\frac{2}{5}$，如果不先约分，计算过程为$\frac{12\times5}{25\times6}$=$\frac{60}{150}$，再约分（分子分母的最大公因数是30）=$\frac{60\div30}{150\div30}$=$\frac{2}{5}$，显然，先约分计算更简便，尤其是当分子分母较大时,先约分能有效避免大数计算带来的困难和错误。